现代数字逻辑电子技术概论
二十一世纪，数字化浪潮席卷了电子工业领域，与传统的模拟电子系统相比，数字系统具备更加优异的精确与可靠性，逐步取代了许多模拟电路的应用场景。数字逻辑电路是对数字信号进行算术与逻辑运算的电路，以逻辑门作为基本电路单元（最早采用 TTL 工艺，伴随半导体工艺技术的不断进步，目前已经逐步被 CMOS 工艺取代），数字电路可以分为组合逻辑电路（基本逻辑门）和时序逻辑电路（逻辑门 + 反馈逻辑回路）两大类。
本篇文章讲解了数字逻辑电路的分析与设计所涉及到的基础理论，首先讲解了数制、码制和逻辑代数等基础知识，接着重点描述组合逻辑电路和时序逻辑电路的分析与设计方法，然后讨论了各种数字集成电路（
含门电路、可编程逻辑元件、半导体存储器）的原理以及使用方法，并且介绍了硬件描述语言与可编程逻辑器件的相关知识，最后一部分讲解AD/DA转换以及脉冲波形的产生和转换电路。
数字逻辑概论
数字信号
模拟信号的电压或者电流在幅值和时间上都是离散的：
数字信号的电压或者电流的幅值随着时间连续变化：
数字信号可以采用高、低电平来表示，它们统称为逻辑电平：
- 低电平：电压值位于 \(0
\sim V_{L(max)}\) 范围内，通常表示逻辑
0； - 高电平：电压值位于 \(V_{H(min)} \sim +V_{DD}\)
范围内，通常表示逻辑
1； - 电压值位于 \(V_{L(max)} \sim V_{H(min)}\) 范围内没有定义，不能使用；
CMOS 元器件电压值范围与数字逻辑电平之间的对应关系：
| 电压范围 | 逻辑值 | 逻辑电平 |
|---|---|---|
| \(3.5V \sim 5V\) | 1 |
高电平 H |
| \(0V \sim 1.5V\) | 0 |
低电平 L |
| \(1.5V \sim 3.5V\) | 无定义 | 无定义 |
数字波形是信号的逻辑电平相对于时间的图形化表达方式：
实际脉冲波形在高、低电平跳变时，边沿不是陡直的，都需要经历一个过渡过程：
- 脉冲幅值 \(V_m\)：脉冲电压的最大变化幅度，即图中高电平的电压值，单位为伏特
V； - 上升时间 \(t_r\)：指矩形脉冲上升沿从 \(10\% V_m\) 上升到 \(90\% V_m\) 时所经历的时间，单位为纳秒
ns； - 下降时间 \(t_f\)：指矩形脉冲下降沿从 \(90\% V_m\) 下降到 \(10\% V_m\) 时所经历的时间，单位为纳秒
ns； - 周期 \(T\)：周期性重复的矩形脉冲中，两个相邻脉冲之间的时间间隔。有时也用频率来表示，即 \(f = \frac{1}{T}\)；
- 脉冲宽度 \(t_w\)：从矩形脉冲上升沿的中间点 \(50\% V_m\) 开始，到脉冲下降沿的中间点 \(50\% V_m\) 为止的一段时间；
- 占空比 \(q\)：表示矩形脉冲宽度（高电平）占据整个周期的百分比；
▶【例题】假设周期性矩形脉冲波形的高电平持续时间为
6ms，低电平的持续时间为 10ms，求解占空比
q 和频率 f ？
▶【解答】根据条件可以得到脉动宽度 \(t_w = 6ms\) 和周期 \(T = 6ms + 10ms = 16ms\)，从而可以计算出：
\[ \begin{aligned} 占空比 &\implies q = \frac{6 ms}{10 ms} \times 100\% = 37.5\% \\ 频率 &\implies f = \frac{1}{T} = \frac{1}{16 \times 10^{-3}s} = 62.5 Hz \end{aligned} \]
数制
数制是一种计数规则，主要是指每一位的构成，以及从低位向高位的进位。例如：十进制是以
10 为基数的计数体制，采用
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
十个数值，其进位的规则是逢十进一。
二进制则是以 2 为基数,采用
0 和 1
两个数值，其进位规则是逢二进一，其中左侧是最高有效位（MSB），右侧为最低有效位(LSB)。
注意：二进制数中的每 1 个二进制数称为
1 bit位，而 8 位二进制数被称为1 Byte字节。
下面的表格对照了 十（Decimal）、二（Binary）、八（Octonary）、十六（Hexadecimal）进制的特点：
下面的表格展示了常用进制数值的换算关系：
二进制 ➔ 十进制
二进制数转换为十进制的方法，按照按权展开公式进行计算。即将每个位上的数值与相应位置的权相乘，最后再求和。
▶【例题】将二进制整数 \((1001 1101)_2\) 转换为十进制数。
▶【例题】将二进制小数 \((0.1011)_2\) 转换为十进制数。
十进制整数 ➔ 二进制
十进制整数转换为二进制数主要有加权求和法、除二取余法两种方式。
加权求和法
加权求和法是通过确定一组二进制权，让它们的和等于已知十进制数。
▶【例题】将十进制整数 \((9)_{10}\) 转换为二进制数。
▶【例题】将十进制整数 \((82)_{10}\) 转换为二进制数。
▶【例题】将十进制整数 \((125)_{10}\) 转换为二进制数。
除二取余法
除二取余法是将十进制整数除以 2
取其余数，所得之商再除以 2，再取其余数，如此重复直到商为
0，每次得到的余数就构成了二进制数的对应位。其中，第一个余数为二进制数的最低位，最后一个余数为二进制数的最高位。
▶【例题】将十进制数 \((45)_{10}\) 转换为二进制数。
十进制小数 ➔ 二进制
十进制小数转换为二进制数同样可以选择加权求和法、除二取余法两种方式。
加权求和法
加权求和法是通过确定一组二进制权，让它们的和等于已知十进制数。
▶【例题】将十进制小数 \((0.625)_{10}\) 转换为二进制数。
除二取余法
除二取余法是将十进制整数除以 2
取其余数，所得之商再除以
2，再取其余数，如此重复直至小数部分为 0
或者小数部分的位数满足误差要求，然后四舍五入为止，每次得到的整数就构成了二进制数的对应位。
▶【例题】将十进制小数 \((0.3125)_{10}\) 转换为二进制数。
▶【例题】将十进制小数 \((0.562)_{10}\) 转换为二进制数，要求转换误差小于 \(1\%\)。
如果误差要求小于 \(1\%\)，那么 \(2^{-m} \le 1\% \implies m \ge \frac{2}{\lg 2} = 6.64 \implies m = 7\)，即保留 7 位二进制结果即可：
接下来校对上面得到二进制结果 \((0.1000111)_{2}\) 的转换误差，
由于 \((0.562)_{10} - (0.555)_{10} \approx 0.7\%\) 误差小于 \(1\%\)，所以最后得到的二进制结果满足转换误差的要求。
二进制 ➔ 十六进制
由于 4 位二进制数恰好拥有 16 个状态，如果将这 4
位二进制数看作整体，其进位输出正好是逢十六进一，所以可以采用分组转换法，即以二进制数的小数点为基准，整数部分从右至左每
4 位分成一组，而小数部分从左至右每 4 位也分成一组，不足 4 位的以
0 进行补足，然后将每一组数以一个十六进制数代替。
▶【例题】将二进制小数 \((1101\ 1001\ 1011\ 0011 . 01)_{2}\) 转换为十六进制数。
所以，最终的转换结果为 \((1101\ 1001\ 1011\ 0011.01)_2 = (D9B3.4)_{16}\)。
十六进制 ➔ 二进制
将每个十六进制数改写为等值的 4 位二进制数即可，并且保持高低位的次序不变。
▶【例题】将十六进制小数 \((4E6.97C)_{16}\) 转换为二进制数。
所以，最终的转换结果为 \((4E6.97C)_{16} = (0100\ 1110\ 0110. 1001\ 0111\ 1100)_2\)。
十六进制 ➔ 十进制
可以根据按权展开公式进行计算，即将每个数与相应位置上的权相乘，然后再进行求和运算。
▶【例题】将十六进制小数 \((3A.C)_{16}\) 转换为十进制数。
所以，最终的转换结果为 \((3A.C)_{16} = (58.75)_{10}\)。
十进制 ➔ 十六进制
将十进制转换为十六进制，可以先转换为二进制数，然后再将得到的二进制数转换为等值的十六进制数。
当然，也可以采用除以十六取余法直接从十进制整数转换为十六进制。
▶【例题】将十进制整数 \((650)_{10}\) 转换为十六进制数。
对于十进制小数转换为十六进制，则需要使用乘以十二取整法。
▶【例题】将十进制小数 \((0.75)_{10}\) 转换为十六进制数。
二进制算术运算
当两个二进制数表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。
加法
二进制数加法的运算规则与十进制数加法类似，只是其进位规则为逢二进一。
对于一位二进制数的相加运算，会向左侧相邻的高位产生进位：
对于多位二进制数的加法从最低位（最右侧）开始，每次取被加数和加数的一位相加，然后逐一向左侧相邻的高位进位。
减法
二进制减法运算当中，当 0 减去 1
不够减时，需要向左边高位进行借位，借的这一位作为 10
处理（即十进制数 2），也称为借一为二。
\[ \begin{aligned} 0 - 0 &= \color{Red}0 &\implies 借位为\ \color{Green}0 \\ 1 - 0 &= \color{Red}1 &\implies 借位为\ \color{Green}0 \\ 1 - 1 &= \color{Red}0 &\implies 借位为\ \color{Green}0 \\ 0 - 1 &= \color{Red}-11 &\implies 借位为\ \color{Green}1 \\ \end{aligned} \]
当两个一位二进制数相减时，如果低位向本位的借位一直为
1，那么计算的四种情况为：
当两个多位二进制数相减时，从最低位（最右边）开始，每次取被减数与减数的
1
位相减；同时还要考虑低位向本位的借位，如果被减数小于减数，就要将减数与被减数交换位置，用减数减去被减数，然后在差值的前面添加负号-。
乘法
被乘数与乘数中某一位相乘的结果，称为部分积。
\[ \begin{aligned} 0 \times 0 &= \color{Red}0 \\ 0 \times 1 &= \color{Red}0 \\ 1 \times 0 &= \color{Red}0 \\ 1 \times 1 &= \color{Red}1 \\ \end{aligned} \]
▶【例题】计算两个四位二进制数 \(1011\) 和 \(1001\) 的积？
所以，多位二进制数 \(1011\) 乘以 \(1001\) 的积为 \(1100011\)。
注意：计算机当中，乘法运算是通过左移被乘数、加法两种运算共同完成的。
除法
从被除数的最高位开始，逐位向低位不断减去除数，够减时商为
1，不够减时商为
0，这样不断减下去就可以求得商。在二进制除法当中，每一位商的值为
0 或者 1。
\[ \begin{aligned} 0 \div 1 &= \color{Red}0 \\ 1 \div 1 &= \color{Red}1 \\ \end{aligned} \]
注意：类似于十进制的除法，二进制的除数不能为
0，否则没有意义。
▶【例题】计算两个四位二进制数 \(1010\) 和 \(111\) 的商？
注意：计算机当中，除法运算是通过右移被除数、减法两种运算共同完成的。
有符号数
日常生活当中，通常在一个数的前面采用 + 号表示正数，减号
- 表示负数。由于数字系统只能识别和处理 0 和
1 表示的二进制数据，因此通常将正号 +
用 0表示负号用 1
表示。将数的符号和值分别用 0 和 1
进行编码，所表示出来的二进制数称为机器数，机器数真正的值（即用正负符号表示的十进制或二进制数值）称为真值。机器数可以分为有符号和无符号两种类型：
- 无符号数：所有二进制位全部用来表示数值，例如 8
位无符号整数的 8 位全部都是用来表示数值的数值位：
- 有符号数：符号和数值分别采用二进制数进行表示，例如
8
位无符号整数左边的最高位作为符号位，其余位为数值位：
有符号数可以进一步分为原码、反码、补码形式：
原码
原码就是将正数的符号位用 0
表示，负数的符号位用 1
表示，数值用绝对值的二进制数形式表示。
因此，真值 0 也会拥有 +0 和 -0
两种不同的表示形式：
注意：计算机当中，位
bit是二进制数据的最小单位，一位二进制数就是1比特（bit），通常将8位二进制数称为1字节（Byte），而4位二进制数称为半字节（Nibble/ˈnɪbl/）。
反码
原码简单易懂且便于转换为真值，但是实现加、减运算较为麻烦。为了简化计算机的处理过程，通常会将减法运算转换为加法运算，于是引进了补码的概念。由于补码与反码之间存在一定的换算关系，所以这里首先对反码进行介绍。
- 正数的反码与原码相同；
- 负数的反码是其正数的反码，但是符号位保持为
1，数值部分则按位取反；
反码当中 0 同样拥有 +0 和 -0
两种不同的表示形式：
补码
减法运算 10 – 5 可以用 10 + 7
的加法运算来代替，而 5 和 7
相加正好是进位的模数 12，所以称 7 为
-5 对模 12 的补数，
也称为补码。
模是指一个计量系统的量程，例如时钟能够表示 \(1 \sim 12\)，那么以 \(12\)
作为一个计数循环就被称为模。而四位二进制数能够表示
\(0000 \sim 1111\) 其模为
16，同理八位二进制数的模为 \(2^8
= 256\)。
所以，在舍弃进位的条件下，减去某数的计算可以采用加上这个数补码的计算来代替，该结论同样适用于二进制数的减法运算。
例如减法 \(1011 - 0111 = 0100\)
对应的十进制形式为 \(11 - 7 =
4\)，在舍弃进位的条件下，可以采用 \(1011 + 1001 = 0100\)
形式代替，对应的十进制等式是 \(11 + 9 =
4\)。这是因为四位二进制数的模数为 16，而
9 恰好就是 -7 对模 16
的补码。
- 正数的补码与原码相同；
- 负数的补码是符号位为
1的负数，数值部分为其绝对值按位取反，并在最低位加1，即负数的补码等于其反码加上一；
注意，补码当中，真值 0 的表示是唯一的，即：
负数补数的简便求解方法：从右侧最低位向左侧最高位扫描，保留出现第一个
1 的位，后续的其它位全部按位取反，符号位保持不变。
▶【例题】使用八位二进制数，将 -90 用补码表示出来：
▶【例题】使用八位二进制数，将 -1 用补码表示出来：
求解一个补码的补码，就可以将补码转换成原码，即 \([[x]_补]_补 = [x]_原\)。
▶【例题】求解 \([1010 1010]_补\) 的原码和真值？
将补码当中所有等于 1
的位的权值相加（包括符号位，负数的符号位的权值被赋予负值），就可以得到其十进制数。
▶【例题】确定补数 \([0101\ 0110]_补\) 和 \([1010\ 1010]_补\) 的十进制值？
\[ [0101\ 0110]_补 = 1 \times 2^6 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 = 64 + 16 + 4 + 2 = +86 \]
\[ [1010\ 1010]_补 = 1 \times (-2)^7 + 1 \times 2^5 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^1 = -128 + 32 + 8 + 2 = -86 \]
二进制代码
逻辑代数
组合逻辑电路
硬件描述语言 Verilog HDL
锁存器和触发器
时序逻辑电路
逻辑门电路
半导体存储器
可编程逻辑器件
脉冲波形的产生与变换
数模与模数转换器
现代数字逻辑电子技术概论
