现代数字逻辑电子技术概论

二十一世纪，数字化浪潮席卷了电子工业领域，与传统的模拟电子系统相比，数字系统具备更加优异的精确与可靠性，逐步取代了许多模拟电路的应用场景。数字逻辑电路是对数字信号进行算术与逻辑运算的电路，以逻辑门作为基本电路单元（最早采用 TTL 工艺，伴随半导体工艺技术的不断进步，目前已经逐步被 CMOS 工艺取代），数字电路可以分为组合逻辑电路（基本逻辑门）和时序逻辑电路（逻辑门 + 反馈逻辑回路）两大类。

本篇文章讲解了数字逻辑电路的分析与设计所涉及到的基础理论，首先讲解了数制、码制和逻辑代数等基础知识，接着重点描述组合逻辑电路和时序逻辑电路的分析与设计方法，然后讨论了各种数字集成电路（ 含门电路、可编程逻辑元件、半导体存储器）的原理以及使用方法，并且介绍了硬件描述语言与可编程逻辑器件的相关知识，最后一部分讲解AD/DA转换以及脉冲波形的产生和转换电路。

数字逻辑概论

数字信号

模拟信号的电压或者电流在幅值和时间上都是离散的：

数字信号的电压或者电流的幅值随着时间连续变化：

数字信号可以采用高、低电平来表示，它们统称为逻辑电平：

1. 低电平：电压值位于 $0\sim V_{L(max)}$ 范围内，通常表示逻辑 0；
2. 高电平：电压值位于 $V_{H(min)}\sim +V_{DD}$ 范围内，通常表示逻辑 1；
3. 电压值位于 $V_{L(max)}\sim V_{H(min)}$ 范围内没有定义，不能使用；

CMOS 元器件电压值范围与数字逻辑电平之间的对应关系：

电压范围	逻辑值	逻辑电平
$3.5V\sim 5V$	1	高电平 H
$0V\sim 1.5V$	0	低电平 L
$1.5V\sim 3.5V$	无定义	无定义

数字波形是信号的逻辑电平相对于时间的图形化表达方式：

实际脉冲波形在高、低电平跳变时，边沿不是陡直的，都需要经历一个过渡过程：

• 脉冲幅值 $V_m$：脉冲电压的最大变化幅度，即图中高电平的电压值，单位为伏特 V；
• 上升时间 $t_r$：指矩形脉冲上升沿从 $10\mathrm{\%}{V}_m$ 上升到 $90\mathrm{\%}{V}_m$ 时所经历的时间，单位为纳秒 ns；
• 下降时间 $t_f$：指矩形脉冲下降沿从 $90\mathrm{\%}{V}_m$ 下降到 $10\mathrm{\%}{V}_m$ 时所经历的时间，单位为纳秒 ns；
• 周期 $T$：周期性重复的矩形脉冲中，两个相邻脉冲之间的时间间隔。有时也用频率来表示，即 $f=\frac{1}{T}$；
• 脉冲宽度 $t_w$：从矩形脉冲上升沿的中间点 $50\mathrm{\%}{V}_m$ 开始，到脉冲下降沿的中间点 $50\mathrm{\%}{V}_m$ 为止的一段时间；
• 占空比 $q$：表示矩形脉冲宽度（高电平）占据整个周期的百分比；

▶【例题】假设周期性矩形脉冲波形的高电平持续时间为 6ms，低电平的持续时间为 10ms，求解占空比 q 和频率 f ？

▶【解答】根据条件可以得到脉动宽度 $t_w=6ms$ 和周期 $T=6ms+10ms=16ms$，从而可以计算出：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{占}\mathrm{空}\mathrm{比}& ⟹q=\frac{6ms}{10ms}\times 100\mathrm{\%}=37.5\mathrm{\%}\\ \mathrm{频}\mathrm{率}& ⟹f=\frac{1}{T}=\frac{1}{16\times {10}^{-3}s}=62.5Hz\end{array}$$

数制

数制是一种计数规则，主要是指每一位的构成，以及从低位向高位的进位。例如：十进制是以 10 为基数的计数体制，采用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数值，其进位的规则是逢十进一。

二进制则是以 2 为基数,采用 0 和 1 两个数值，其进位规则是逢二进一，其中左侧是最高有效位（MSB），右侧为最低有效位(LSB)。

注意：二进制数中的每 1 个二进制数称为 1 bit 位，而 8 位二进制数被称为 1 Byte 字节。

下面的表格对照了 十（Decimal）、二（Binary）、八（Octonary）、十六（Hexadecimal）进制的特点：

下面的表格展示了常用进制数值的换算关系：

二进制 ➔ 十进制

二进制数转换为十进制的方法，按照按权展开公式进行计算。即将每个位上的数值与相应位置的权相乘，最后再求和。

▶【例题】将二进制整数 $(10011101{)}_2$ 转换为十进制数。

▶【例题】将二进制小数 $(0.1011{)}_2$ 转换为十进制数。

十进制整数 ➔ 二进制

十进制整数转换为二进制数主要有加权求和法、除二取余法两种方式。

加权求和法

加权求和法是通过确定一组二进制权，让它们的和等于已知十进制数。

▶【例题】将十进制整数 $(9{)}_{10}$ 转换为二进制数。

▶【例题】将十进制整数 $(82{)}_{10}$ 转换为二进制数。

▶【例题】将十进制整数 $(125{)}_{10}$ 转换为二进制数。

除二取余法

除二取余法是将十进制整数除以 2 取其余数，所得之商再除以 2，再取其余数，如此重复直到商为 0，每次得到的余数就构成了二进制数的对应位。其中，第一个余数为二进制数的最低位，最后一个余数为二进制数的最高位。

▶【例题】将十进制数 $(45{)}_{10}$ 转换为二进制数。

十进制小数 ➔ 二进制

十进制小数转换为二进制数同样可以选择加权求和法、除二取余法两种方式。

加权求和法

加权求和法是通过确定一组二进制权，让它们的和等于已知十进制数。

▶【例题】将十进制小数 $(0.625{)}_{10}$ 转换为二进制数。

除二取余法

除二取余法是将十进制整数除以 2 取其余数，所得之商再除以 2，再取其余数，如此重复直至小数部分为 0 或者小数部分的位数满足误差要求，然后四舍五入为止，每次得到的整数就构成了二进制数的对应位。

▶【例题】将十进制小数 $(0.3125{)}_{10}$ 转换为二进制数。

▶【例题】将十进制小数 $(0.562{)}_{10}$ 转换为二进制数，要求转换误差小于 $1\mathrm{\%}$。

如果误差要求小于 $1\mathrm{\%}$，那么 $2^{-m}\le 1\mathrm{\%}⟹m\ge \frac{2}{\lg 2}=6.64⟹m=7$，即保留 7 位二进制结果即可：

接下来校对上面得到二进制结果 $(0.1000111{)}_2$ 的转换误差，

由于 $(0.562{)}_{10}-(0.555{)}_{10}\approx 0.7\mathrm{\%}$ 误差小于 $1\mathrm{\%}$，所以最后得到的二进制结果满足转换误差的要求。

二进制 ➔ 十六进制

由于 4 位二进制数恰好拥有 16 个状态，如果将这 4 位二进制数看作整体，其进位输出正好是逢十六进一，所以可以采用分组转换法，即以二进制数的小数点为基准，整数部分从右至左每 4 位分成一组，而小数部分从左至右每 4 位也分成一组，不足 4 位的以 0 进行补足，然后将每一组数以一个十六进制数代替。

▶【例题】将二进制小数 $(1101100110110011.01{)}_2$ 转换为十六进制数。

所以，最终的转换结果为 $(1101100110110011.01{)}_2=(D9B3.4{)}_{16}$。

十六进制 ➔ 二进制

将每个十六进制数改写为等值的 4 位二进制数即可，并且保持高低位的次序不变。

▶【例题】将十六进制小数 $(4E6.97C{)}_{16}$ 转换为二进制数。

所以，最终的转换结果为 $(4E6.97C{)}_{16}=(010011100110.100101111100{)}_2$。

十六进制 ➔ 十进制

可以根据按权展开公式进行计算，即将每个数与相应位置上的权相乘，然后再进行求和运算。

▶【例题】将十六进制小数 $(3A.C{)}_{16}$ 转换为十进制数。

所以，最终的转换结果为 $(3A.C{)}_{16}=(58.75{)}_{10}$。

十进制 ➔ 十六进制

将十进制转换为十六进制，可以先转换为二进制数，然后再将得到的二进制数转换为等值的十六进制数。

当然，也可以采用除以十六取余法直接从十进制整数转换为十六进制。

▶【例题】将十进制整数 $(650{)}_{10}$ 转换为十六进制数。

对于十进制小数转换为十六进制，则需要使用乘以十二取整法。

▶【例题】将十进制小数 $(0.75{)}_{10}$ 转换为十六进制数。

二进制算术运算

当两个二进制数表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。

加法

二进制数加法的运算规则与十进制数加法类似，只是其进位规则为逢二进一。

对于一位二进制数的相加运算，会向左侧相邻的高位产生进位：

对于多位二进制数的加法从最低位（最右侧）开始，每次取被加数和加数的一位相加，然后逐一向左侧相邻的高位进位。

减法

二进制减法运算当中，当 0 减去 1 不够减时，需要向左边高位进行借位，借的这一位作为 10 处理（即十进制数 2），也称为借一为二。

$$\begin{array}{rlr}0-0& =0& ⟹\mathrm{借}\mathrm{位}\mathrm{为}0\\ 1-0& =1& ⟹\mathrm{借}\mathrm{位}\mathrm{为}0\\ 1-1& =0& ⟹\mathrm{借}\mathrm{位}\mathrm{为}0\\ 0-1& =-11& ⟹\mathrm{借}\mathrm{位}\mathrm{为}1\end{array}$$

当两个一位二进制数相减时，如果低位向本位的借位一直为 1，那么计算的四种情况为：

当两个多位二进制数相减时，从最低位（最右边）开始，每次取被减数与减数的 1 位相减；同时还要考虑低位向本位的借位，如果被减数小于减数，就要将减数与被减数交换位置，用减数减去被减数，然后在差值的前面添加负号-。

乘法

被乘数与乘数中某一位相乘的结果，称为部分积。

$$\begin{array}{rl}0\times 0& =0\\ 0\times 1& =0\\ 1\times 0& =0\\ 1\times 1& =1\end{array}$$

▶【例题】计算两个四位二进制数 $1011$ 和 $1001$ 的积？

所以，多位二进制数 $1011$ 乘以 $1001$ 的积为 $1100011$。

注意：计算机当中，乘法运算是通过左移被乘数、加法两种运算共同完成的。

除法

从被除数的最高位开始，逐位向低位不断减去除数，够减时商为 1，不够减时商为 0，这样不断减下去就可以求得商。在二进制除法当中，每一位商的值为 0 或者 1。

$$\begin{array}{rl}0÷1& =0\\ 1÷1& =1\end{array}$$

注意：类似于十进制的除法，二进制的除数不能为 0，否则没有意义。

▶【例题】计算两个四位二进制数 $1010$ 和 $111$ 的商？

注意：计算机当中，除法运算是通过右移被除数、减法两种运算共同完成的。

有符号数

日常生活当中，通常在一个数的前面采用 + 号表示正数，减号 - 表示负数。由于数字系统只能识别和处理 0 和 1 表示的二进制数据，因此通常将正号 + 用 0表示负号用 1 表示。将数的符号和值分别用 0 和 1 进行编码，所表示出来的二进制数称为机器数，机器数真正的值（即用正负符号表示的十进制或二进制数值）称为真值。机器数可以分为有符号和无符号两种类型：

1. 无符号数：所有二进制位全部用来表示数值，例如 8 位无符号整数的 8 位全部都是用来表示数值的数值位：
2. 有符号数：符号和数值分别采用二进制数进行表示，例如 8 位无符号整数左边的最高位作为符号位，其余位为数值位：

有符号数可以进一步分为原码、反码、补码形式：

原码

原码就是将正数的符号位用 0 表示，负数的符号位用 1 表示，数值用绝对值的二进制数形式表示。

因此，真值 0 也会拥有 +0 和 -0 两种不同的表示形式：

注意：计算机当中，位 bit 是二进制数据的最小单位，一位二进制数就是 1 比特（bit），通常将 8 位二进制数称为 1 字节（Byte），而 4 位二进制数称为半字节（Nibble /ˈnɪbl/）。

反码

原码简单易懂且便于转换为真值，但是实现加、减运算较为麻烦。为了简化计算机的处理过程，通常会将减法运算转换为加法运算，于是引进了补码的概念。由于补码与反码之间存在一定的换算关系，所以这里首先对反码进行介绍。

• 正数的反码与原码相同；
• 负数的反码是其正数的反码，但是符号位保持为1，数值部分则按位取反；

反码当中 0 同样拥有 +0 和 -0 两种不同的表示形式：

补码

减法运算 10 – 5 可以用 10 + 7 的加法运算来代替，而 5 和 7 相加正好是进位的模数 12，所以称 7 为 -5 对模 12 的补数， 也称为补码。

模是指一个计量系统的量程，例如时钟能够表示 $1\sim 12$，那么以 $12$ 作为一个计数循环就被称为模。而四位二进制数能够表示 $0000\sim 1111$ 其模为 16，同理八位二进制数的模为 $2^8=256$。

所以，在舍弃进位的条件下，减去某数的计算可以采用加上这个数补码的计算来代替，该结论同样适用于二进制数的减法运算。

例如减法 $1011-0111=0100$ 对应的十进制形式为 $11-7=4$，在舍弃进位的条件下，可以采用 $1011+1001=0100$ 形式代替，对应的十进制等式是 $11+9=4$。这是因为四位二进制数的模数为 16，而 9 恰好就是 -7 对模 16 的补码。

• 正数的补码与原码相同；
• 负数的补码是符号位为 1 的负数，数值部分为其绝对值按位取反，并在最低位加 1，即负数的补码等于其反码加上一；

注意，补码当中，真值 0 的表示是唯一的，即：

负数补数的简便求解方法：从右侧最低位向左侧最高位扫描，保留出现第一个 1 的位，后续的其它位全部按位取反，符号位保持不变。

▶【例题】使用八位二进制数，将 -90 用补码表示出来：

▶【例题】使用八位二进制数，将 -1 用补码表示出来：

求解一个补码的补码，就可以将补码转换成原码，即 $[[x{]}_{\mathrm{补}}{]}_{\mathrm{补}}=[x{]}_{\mathrm{原}}$。

▶【例题】求解 $[10101010{]}_{\mathrm{补}}$ 的原码和真值？

将补码当中所有等于 1 的位的权值相加（包括符号位，负数的符号位的权值被赋予负值），就可以得到其十进制数。

▶【例题】确定补数 $[01010110{]}_{\mathrm{补}}$ 和 $[10101010{]}_{\mathrm{补}}$ 的十进制值？

$$[01010110{]}_{\mathrm{补}}=1\times 2^6+1\times 2^4+1\times 2^2+1\times 2^1=64+16+4+2=+86$$

$$[10101010{]}_{\mathrm{补}}=1\times (-2{)}^7+1\times 2^5+1\times 2^3+1\times 2^1=-128+32+8+2=-86$$

二进制代码

逻辑代数

组合逻辑电路

硬件描述语言 Verilog HDL

锁存器和触发器

时序逻辑电路

逻辑门电路

半导体存储器

可编程逻辑器件

脉冲波形的产生与变换

数模与模数转换器